Wenn wir auf kosmologischen Skalen ein rotverschobenes Objekt sehen können wir daraus unter anderem ablesen
1) wie viele Jahre lang sein Licht bis zu uns gereist ist
2) wie viele Lichtjahre es von uns entfernt war als es sein Licht aussandte
3) wie weit es bis jetzt wo wir das Licht empfangen gekommen ist
4) wie schnell das Objekt sich damals von uns entfernt hat
5) wie schnell es sich heute von uns entfernt
Die verwendeten kosmischen Parameter sind H0 = 67150 m/Mpc/sek; ΩR = 548e-5; ΩM = 317/1000; ΩΛ = 1-ΩR-ΩM; ΩK = 0
Damit ergibt sich ein Weltalter von 13.8196 Gyr. Die Plots gehen bis zu einer Rotverschiebung von z = 20:
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Plot 1: Lichtreisezeit; x = z, y = t (in Gyr)
Das um den Faktor (20+1) rotverschobene Licht war 13.64 Mrd Jahre lang unterwegs.
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Plot 2: Abstand damals; x = z, y = d (in Glyr)
Unser Testobjekt war als es sein Licht aussandte 1.7 Mrd Lj von uns entfernt.
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Plot 3: Abstand heute; x = z, y = d (in Glyr)
Heute ist es bereits 35 Mrd Lj von uns entfernt (der maximale Partikelhorizont für z→∞ betrüge 46.386 Mrd Lj).
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Plot 4: Geschwindigkeit damals; x = z, y = v (in c)
Die Rezessionsgeschwindigkeit des Objekts relativ zu uns betrug damals 6.35 fache Lichtgeschwindigkeit.
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Plot 5: Geschwindigkeit heute; x = z, y = v (in c)
Heute beträgt die Rezessionsgeschwindigkeit unseres Objekts 2.46 c relativ zu uns.
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Plot 6: zum Vergleich die Eigengeschwindigkeit im lokalen Minkowskiraum; x = z, y = v (in c)
Im lokalen nichtexpandierenden Raum würde die Lichtgeschwindigkeit auch bei z=∞ nicht überschritten.
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Die Trajektorie unseres Objekts (rot) in physikalischen und mitbewegten Koordinaten:
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Das verwendete Modell ist ΛCDM/FLRW mit den Daten von Planck 2013. Wenn eine Kombination aus Eigenbewegung im lokalen Raum und Rezessionsgeschwindigkeit mit dem expandierenden Raum vorliegt werden beide Faktoren (z+1) miteinander multipliziert (die Eigengeschwindigkeit zum Zeitpunkt der Emission ist dann die Ausschlaggebende). Die Abweichung in der Rotverschiebung durch Eigenbewegung ist aber normalerweise vernachläßigbar klein (sie beträgt in etwa ±0.2%).
1) wie viele Jahre lang sein Licht bis zu uns gereist ist
2) wie viele Lichtjahre es von uns entfernt war als es sein Licht aussandte
3) wie weit es bis jetzt wo wir das Licht empfangen gekommen ist
4) wie schnell das Objekt sich damals von uns entfernt hat
5) wie schnell es sich heute von uns entfernt
Code: Alles auswählen
(* Syntax: Mathematica ||| lcdm.yukterez.net *)
kg = 1; m = 1; sek = 1; K = 1; (* Units *)
set = {"GlobalAdaptive", "MaxErrorIncreases" -> 100, Method -> "GaussKronrodRule"}; (* Integration Rule *)
n = 100; (* Recursion Depth *)
tE = 300 Gyr; (* Eventhorizon Limit *)
c = 299792458 m/sek; (* Lightspeed *)
ca = 1; (* Perturbation Velocity *)
G = 667384*^-16 m^3 kg^-1 sek^-2; (* Newton Constant *)
Gyr = 10^7*36525*24*3600*sek; (* Billion Year Scale *)
Glyr = Gyr*c; (* Billion Lightyear Scale *)
Mpc = 30856775777948584200000 m; (* Megaparsec *)
kB = 13806488*^-30 kg m^2/sek^2/K; (* Boltzmann *)
h = 662606957*^-42 kg m^2/sek; (* Planck *)
ρr = 8 π^5 kB^4 T^4/15/c^5/h^3; (* Radiation Density *)
ρR = 1.68132 ρr; (* Radiation + Neutrinos *)
ρΛ = ρc[H0] ΩΛ; (* Dark Energy Density *)
T = 2725/1000 K; (* CMB Temperature *)
ρc[H_] := 3 H^2/8/π/G; (* Critical Density *)
H0 = 67150 m/Mpc/sek; (* Hubble Constant *)
ΩR = ρR/ρc[H0]; ΩM = 317/1000; ΩΛ = 683/1000 - ΩR; ΩT = ΩR + ΩM + ΩΛ; ΩK = 1 - ΩT; (* Density Parameters *)
aE[t_] := Power[(Sqrt[ΩM/ΩΛ] Sinh[(3 H0 Sqrt[ΩΛ])/2 t])^2, (3)^-1]; (* Solving Region *)
w[a_, w0_] := (1 + w0) (Sqrt[1 + (ΩΛ^-1 - 1) a^-3] - (ΩΛ^-1 -1) a^-3 Tanh[1/Sqrt[1 + (ΩΛ^-1 - 1) a^-3]]^-1)^2 (1/Sqrt[ΩΛ] - (ΩΛ^-1 - 1) Tanh[Sqrt[ΩΛ]]^-1)^-2 -1;
F[a_, w0_] := Sqrt[ΩR a^-4 + ΩM a^-3 + ΩK a^-2 + ΩΛ a^(-3 (w[a, w0] + 1))]; (* Density Function by Scalefactor*)
φ[z_, w0_] := Sqrt[ΩR (z + 1)^4 + ΩM (z + 1)^3 + ΩK (z + 1)^2 + ΩΛ ((1 + z)^(3 (w[1/(z + 1), w0] + 1))) ]; (* Density Function by Redshift *)
H[a_, w0_] := H0 F[a, w0]; (* Hubble Parameter by Scalefactor *)
ε[z_, w0_] := H0 φ[z, w0]; (* Hubble Parameter by Redshift *)
int[f_, {x_, xmin_, xmax_}] := Quiet[NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}, Method -> set, MaxRecursion -> n]];
ta[A_, w0_] := int[1/a/ H[a, w0], {a, 0, A}]; (* Time by Scalefactor *)
α[τ_, w0_] := Quiet[A /.FindRoot[ta[A, w0] - τ, {A, 1}]] (* Scalefactor by Time *)
tz[Z_, w0_] := int[1/(1 + z)/ ε[z, w0], {z, Z, \[Infinity]}]; (* Time by Redshift *)
χ[τ_, w0_] := Z /. Quiet[FindRoot[tz[Z, w0] - τ, {Z, 0}]] (* Redshift by Time *)
rH[τ_, w0_] := c/H[α[τ, w0], w0]; (* Hubble Radius *)
lC[τ_, w0_] := int[-c α[τ, w0]/a^2/H[a, w0], {a, 1, α[τ, w0]}]; (* Light Cone of t0 *)
Lc[τ_, t_, w0_] := int[-c α[τ, w0]/a^2/H[a, w0], {a, α[t, w0], α[τ, w0]}]; (* Light Cone of t *)
eH[τ_, w0_] := α[τ, w0] int[c/(α[time, w0]), {time, τ, tE}]; (* Event Horizon *)
pH[τ_, w0_] := int[-α[τ, w0] c/a^2/H[a, w0], {a, α[τ, w0], 0}]; (* Particle Horizon *)
g[τ_, w0_] := tc /. Quiet[FindRoot[pH[tc, w0]/c - τ, {tc, τ}]]; (* Conformal Time *)
ωR[τ_, w0_] := ΩR α[τ, w0]^-4/ρc[H[α[τ, w0]]]; (* Radiation Evolution *)
ωM[τ_, w0_] := ΩM α[τ, w0]^-3/ρc[H[α[τ, w0]]]; (* Matter Evolution *)
ωK[τ_, w0_] := ΩK α[τ, w0]^-2/ρc[H[α[τ, w0]]]; (* Curvature Evolution *)
ωΛ[τ_, w0_] := ΩΛ α[τ, w0]^(-3 (w[α[τ, w0], w0] + 1))/ρc[H[α[τ, w]]]; (* Dark Energy Evolution *)
t0[w0_] := ta[1, w0]/Gyr; (* Age of the Universe, now *)
"t0 in Gyr" -> t0[-1]
Plot[(tz[0, -1] - tz[z2, -1])/Gyr, {z2, 0, 20}, Frame -> True,
PlotRange -> All, PlotStyle -> {Red, Thick}]
(* Light Travel Time *)
Plot[lC[tz[z2, -1], -1]/Glyr, {z2, 0, 20}, Frame -> True,
PlotRange -> All, PlotStyle -> {Green, Thick}]
(* Distance at Emission *)
Plot[lC[tz[z2, -1], -1] (z2 + 1)/Glyr, {z2, 0, 20}, Frame -> True,
PlotRange -> All, PlotStyle -> {Blue, Thick}]
(* Distance at Absorption *)
Plot[ε[z2, -1] lC[tz[z2, -1], -1]/c, {z2, 0, 20}, Frame -> True,
PlotRange -> All, PlotStyle -> {Orange, Thick}]
(* Recessional Velocity at Emission *)
Plot[H0 lC[tz[z2, -1], -1] (z2 + 1)/c, {z2, 0, 20}, Frame -> True,
PlotRange -> All, PlotStyle -> {Brown, Thick}]
(* Recessional Velocity at Absorption *)
v = (2 c z + c z^2)/(2 + 2 z + z^2)/c; Plot[v, {z, 0, 20}, Frame -> True,
PlotRange -> All, PlotStyle -> {Magenta, Thick}]
(* Local Minkowski Redshift *)
z1 = 20; (* Redshift *)
t1 = tz[z1, -1]; "Age at Emission" -> t1/Gyr "Gyr"
tr = tz[0, -1] - tz[z1, -1]; "Light Travel Time" -> tr/Gyr "Gyr"
lC1 = lC[t1, -1]; "Distance at Emission" -> lC1/Glyr "Glyr"
lC2 = lC[t1, -1] (z1 + 1); "Distance at Absorption" -> lC2/Glyr "Glyr"
v1 = ε[z1, -1] lC1; "Recessional Velocity at Emission" -> v1/c "c"
v2 = H0 lC2; "Recessional Velocity at Absorption" -> v2/c "c"Die verwendeten kosmischen Parameter sind H0 = 67150 m/Mpc/sek; ΩR = 548e-5; ΩM = 317/1000; ΩΛ = 1-ΩR-ΩM; ΩK = 0
Damit ergibt sich ein Weltalter von 13.8196 Gyr. Die Plots gehen bis zu einer Rotverschiebung von z = 20:
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Plot 1: Lichtreisezeit; x = z, y = t (in Gyr)
Das um den Faktor (20+1) rotverschobene Licht war 13.64 Mrd Jahre lang unterwegs.
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Plot 2: Abstand damals; x = z, y = d (in Glyr)
Unser Testobjekt war als es sein Licht aussandte 1.7 Mrd Lj von uns entfernt.
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Plot 3: Abstand heute; x = z, y = d (in Glyr)
Heute ist es bereits 35 Mrd Lj von uns entfernt (der maximale Partikelhorizont für z→∞ betrüge 46.386 Mrd Lj).
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Plot 4: Geschwindigkeit damals; x = z, y = v (in c)
Die Rezessionsgeschwindigkeit des Objekts relativ zu uns betrug damals 6.35 fache Lichtgeschwindigkeit.
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Plot 5: Geschwindigkeit heute; x = z, y = v (in c)
Heute beträgt die Rezessionsgeschwindigkeit unseres Objekts 2.46 c relativ zu uns.
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Plot 6: zum Vergleich die Eigengeschwindigkeit im lokalen Minkowskiraum; x = z, y = v (in c)
Im lokalen nichtexpandierenden Raum würde die Lichtgeschwindigkeit auch bei z=∞ nicht überschritten.
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Die Trajektorie unseres Objekts (rot) in physikalischen und mitbewegten Koordinaten:
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Das verwendete Modell ist ΛCDM/FLRW mit den Daten von Planck 2013. Wenn eine Kombination aus Eigenbewegung im lokalen Raum und Rezessionsgeschwindigkeit mit dem expandierenden Raum vorliegt werden beide Faktoren (z+1) miteinander multipliziert (die Eigengeschwindigkeit zum Zeitpunkt der Emission ist dann die Ausschlaggebende). Die Abweichung in der Rotverschiebung durch Eigenbewegung ist aber normalerweise vernachläßigbar klein (sie beträgt in etwa ±0.2%).
