Die geodätische Gleichung

[Yukterez]

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Anwendungsbeispiel: Kerr-Metrik in Boyer-Lindquist-Koordinaten, mit den kovarianten:



und kontravarianten metrischen Koeffizienten:



Shorthand Terms:



Einheiten: dimensionslos, metrische Signatur: time-positive



Hochgestellte Buchstaben sind hierbei keine Potenzen sondern Indizes.


Notation für die hier verwendeten Kugelkoordinaten:



Allgemeine Indexverschieberegel:



Spezialfall metrischer Tensor:



Metrischer Tensor g=gμν und inverse Metrik g-1=gμν:



Beispiel: kovariante Metrikkomponente, 2. Zeile, 2. Spalte und kontravarinte Metrikkomponente 1. Zeile, 4. Spalte:




Christoffelsymbole zweiter Art:



Beispiel: Christoffelsymbol Γ(r,t,t):




Bewegungsgleichung:



Aufsummierte Form:



Explizite Ableitungen:




Erste Ableitungen:



Ausgeschriebene Form mit berücksichtigter Axialsymmetrie um die Rotationsachse:




Linienelement:



Ausgeschrieben:



Für die insgesamte Zeitdilatation wird nach dt/dt aufgelöst, siehe [42-45].


Anwendung: Input Metrik, Output Bewegungsgleichungen:



Metrik und inverse Metrik:



Christoffelsymbole:



Geodätengleichung, Input und Output:

Koordinatenzeit nach Eigenzeit für massive Testpartikel und affinen Parameter für masselose Teilchen:



Beispiel 1: Partikelorbit mit a=0.646, x0=7, y0=z0=0, i0=p/2-arctan(5/6), v0=0.4 (Animationsparameter: t)



Beispiel 2: Photonenorbits auf r=3 (Animationsparameter: a)




weiterführende Beiträge: mahag / kerr.yukterez.net / gravitylense.yukterez.net, Begriffserklärung: FREFO / ZAMO, Code: klick

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Einfachere Beispiele mit stationär-statischen Metriken (top-down Prinzip). Für die Einstein-Maxwell-Gleichungen geht es hier entlang.

Benötigte Formeln und Variablen:








v=√(ṫ²-gtt)/ṫ ist die lokale 3er-Geschwindigkeit, mit v²=(vr)²+(vθ)²+(vφ)². Für Photonen gilt μ=0, für Testpartikel μ=-1. Da es in stationär-statischen Metriken keine Kreuzterme gibt reduziert sich ẋi=vi/√(1-v²)/√(|gii|)-ṫ g0i/gii in den folgenden Beispielen auf ẋi=vi/√(1-v²)/√(|gii|).

Schwarzschild Limit:

Neutonisches Limit (weak Field):

Minkowski Limit (flache Raumzeit):

Referenzen und weiterführende Literatur, Ref 1) Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity; Schwarzschild: (Kap. 7, #7.29), Weak Field: (Kap. 7, #7.27) Newton: Ref 2) Domingos Soares, From Schwarzschild to Newton (Kap. 3, #13), Ref 3) Kip Thorne, Relativistic Stars and Black Holes (Kap. 25, S. 32 ff. und Kap. 26, #26.9), Minkowski: Ref 4) Heinicke & Hehl, Schwarzschild and Kerr Solutions of Einstein’s Field Equation (Kap. 1.2, #17)

Animations by Simon Tyran, Vienna (Yukterez) - reuse permitted under the Creative Commons License CC BY-SA 4.0